高校问答惠若琪后援会微博:高分数学问题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/11 03:31:03
最低要求 要有简单步骤
这是一个有两条边平行的四边形，即梯形。
证明如下。
不妨设题目中的两条对边分别为a、c，对角线为b。
又设a、b的夹角为α
再设c、b的夹角为β
于是，凸四边形的面积为：
S＝0.5*a*b*sinα＋0.5*b*c*sinβ
由于sinα和sinβ的最大值为1，故：
S≤0.5(a*b＋b*c)，等号仅当α和β均为90度时成立，此时a和c均垂直于b，即a、c互相平行。
设M＝0.5*(a*b＋b*c)
把b提出，有：M＝0.5*b*(a＋c)
根据不等式：p*q≤[(p+q)/2]^2，有：
M＝0.5*b*(a＋c)≤0.5*[(b＋a＋c)/2]^2＝0.5*(16/2)^2＝32
等号当且仅当：b＝a+c时成立。
综上述，S≤M≤32
现在有S＝32，即上面的不等式两个等号都同时成立了，就必然要有：
1、α和β均为90度，此时a和c均垂直于b，即a、c互相平行。
2、b＝a+c
根据第二个条件，有b＝8，a＋c＝8
设另一条对角线为d，则根据条件1，必有几何关系：
d^2＝b^2＋(a＋c)^2＝64＋64＝128
故另一条对角线d长度为8*√2
这是第十八届国际数学奥林匹克竞赛的第一题.设四边行是ABCD,对角线AC与两对边AB,CD的和为16cm,
再设：AC=a,AB=b,CD=c,∠BAC=α,∠ACD=β
则，a+b+c=16,
四边形ABCD的面积=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积
即32＝(1/2)absinα+(1/2)acsinβ
∵0＜sinα≤1，0＜sinβ≤1
∴64≤a(b+c),
∴64≤a(16-a),
∴(a-8)＾2≤0
而(a-8)＾2≥0
∴a-8=0
∴a=8
∴b+c=8
∴sinα=sinβ=1
∴α=β=90度
∴AB‖CD
即，四边形ABCD是梯形
延长BA到E点，使AE＝CD在Rt△BDE中
BD^2=BE^2+ED^2=(AB+AE)^2+AC^2
=(b+c)^2+a^2=8^2+8^2=2*64(cm)
∴BD=8√2cm
上面的解答假设了梯形，尽管结果是对的，但是并不严谨。
正确解法如下。
假设四边形是ABCD,AB+AC+CD=16
那么32=[ABCD]=[ABC]+[ACD]=1/2*AB*AC*sin(BAC)+1/2*AC*CD*sin(CAD)
<=1/2*AB*AC+1/2*AC*CD (根据sin <= 1)
=1/2*AC*(AB+CD)
<=1/2*( (AC+AB+CD)/2)^2 (根据平均不等式）
=1/2*（16/2）^2=32
于是每个等号必须都取到
于是角BAC=CAD=90度，并且AB+CD=AC
那么就有AB+CD=AC=8,那么就不难得到AC=8根号2
这是标准答案，2003年全国初中数学联合竞赛的压轴题吧。
这是一个有两条边平行的四边形，即梯形。
证明如下。
不妨设题目中的两条对边分别为a、c，对角线为b。
又设a、b的夹角为α
再设c、b的夹角为β
于是，凸四边形的面积为：
S＝0.5*a*b*sinα＋0.5*b*c*sinβ
由于sinα和sinβ的最大值为1，故：
S≤0.5(a*b＋b*c)，等号仅当α和β均为90度时成立，此时a和c均垂直于b，即a、c互相平行。
设M＝0.5*(a*b＋b*c)
把b提出，有：M＝0.5*b*(a＋c)
根据不等式：p*q≤[(p+q)/2]^2，有：
M＝0.5*b*(a＋c)≤0.5*[(b＋a＋c)/2]^2＝0.5*(16/2)^2＝32
等号当且仅当：b＝a+c时成立。
综上述，S≤M≤32
现在有S＝32，即上面的不等式两个等号都同时成立了，就必然要有：
1、α和β均为90度，此时a和c均垂直于b，即a、c互相平行。
2、b＝a+c
根据第二个条件，有b＝8，a＋c＝8
设另一条对角线为d，则根据条件1，必有几何关系：
d^2＝b^2＋(a＋c)^2＝64＋64＝128
故另一条对角线d长度为8*√2
猜想是梯形 自己花图。
设
梯形ABCD中，AD‖BC，BD⊥BC．设AD=x，BC=y，DB=z，由题得：x+y+z=16，
面积32
解得x+y=8，z=8，
过D作DE‖AC交BC的延长线于E．
∴四边形ADEC是平行四边形
∴DE=AC，AD=CE．（将“上底+下底”转化到一条线段上）
在Rt△DBE中，∠DBE=90°，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8，
根据勾股定理得 ，
∵AC=DE，
AC=8根号2
这是第十八届国际数学奥林匹克竞赛的第一题.设四边行是ABCD,对角线AC与两对边AB,CD的和为16cm,
再设：AC=a,AB=b,CD=c,∠BAC=α,∠ACD=β
则，a+b+c=16,
四边形ABCD的面积=三角形ABC的面积+三角形ACD的面积
即32＝(1/2)absinα+(1/2)acsinβ
∵0＜sinα≤1，0＜sinβ≤1
∴64≤a(b+c),
∴64≤a(16-a),
∴(a-8)＾2≤0
而(a-8)＾2≥0
∴a-8=0
∴a=8
∴b+c=8
∴sinα=sinβ=1
∴α=β=90度
∴AB‖CD
即，四边形ABCD是梯形
延长BA到E点，使AE＝CD在Rt△BDE中
BD^2=BE^2+ED^2=(AB+AE)^2+AC^2
=(b+c)^2+a^2=8^2+8^2=2*64(cm)
∴BD=8√2cm