高校问答匆匆那年有第二部吗:急求解！！
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/28 03:25:15
a,b,c为整数且a+b+c=0,求证a^5+b^5+c^5能被a^2+b^2+c^2整除
c=-（a+b），那么
a^2+b^2+c^2
=a^2+b^2+（-a-b）^2
=2（a^2+ab+b^2），
a^5+b^5+c^5=a^5+b^5+（-a-b）^5
=a^5+b^5-a^5-b^2-5a^4b-10a^3b^2-10a^2b^3-5ab$
=-5ab(a+b)(a^2+ab+b^2).
因为a、b都是整数，那么
若a、b都偶，则-5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)显然能被2（a^2+ab+b^2）即a^2+b^2+c^2整除；
若a、b一奇一偶，则ab（a+b）为偶，所以-5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)能被2（a^2+ab+b^2）即a^2+b^2+c^2整除；
若a、b都奇，则ab（a+b）为偶，
所以-5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)也能被2（a^2+ab+b^2）即a^2+b^2+c^2整除.
综上可知，原命题成立.
如果有其他问题，可发邮件给我，本人尽量帮助解决。
a^5+b^5+c^
=a^5+b^5-(a+b)^5
=-(5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4)
=-5ab(a^3+2a^b+2ab^2+b^3)
=-5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)
=-2.5ab(a+b)(2a^2+2ab+2b^2)
=-2.5ab(a+b)(a^2+b^+(a+b)^2)
=-2.5ab(a+b)(a^2+b^2+c^2)
不论a，b是奇是偶，ab,a+b两个数中必定有一个是偶数，故能整除