领导批示落实情况:请数学高手帮我解答一下，谢谢! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!

来源：百度文库编辑：高校问答时间：2024/04/28 02:03:38

1、已知：f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R),求证：关于x的方程ax^2+bx+c=0恰有两个不相等的实数解的充要条件是：存在x0∈R，使af(x0)＜0
2、对集合定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减次序重新排列该子集中的元素然后从最大数开始交替减，加后合计的数，如{1，2，4，6}，交替和是6-4+2-1=3，则{1，2，3，...，n}的所有子集的“交替和”的总和为多少？
(请写出详细解题过程)

1证明：（1）a>0时,函数y=f(x)的图象开口向上
又关于x的方程ax^2+bx+c=0恰有两个不等实根
即函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点
所以存在x0∈R,使f(x0)＜0
即存在x0∈R，使af(x0)＜0
a<0时，函数y=f(x)的图象开口向下
又关于x的方程ax^2+bx+c=0恰有两个不等实根
即函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点
所以存在x0∈R,使f(x0)>0
即存在x0∈R，使af(x0)＜0
所以，关于x的方程ax^2+bx+c=0恰有两个不相等的实数解的充分条件是存在x0∈R，使af(x0)＜0
（2）∵af(x0)＜0
∴a<0,f(x0)>0或a>0,f(x0)<0
∴函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点
即关于x的方程ax^2+bx+c=0有两个不等实根
所以，关于x的方程ax^2+bx+c=0恰有两个不相等的实数解的必要条件是存在x0∈R，使af(x0)＜0
由（1）（2）可得：关于x的方程ax^2+bx+c=0恰有两个不相等的实数解的充要条件是：存在x0∈R，使af(x0)＜0

2解：集合{1，2，3，……，n}的子集共有2^n个
其中含有n的集合有2^(n-1)个
对于含有n-1的集合中，n-1排奇数位的有2^(n-2)个，n-1排偶数位的有2^(n-2)个
对于含有n-2的集合中，n-2排奇数位的有2^(n-2)个，n-1排偶数位的有2^(n-2)个
……
……
则交替和的总和为2^(n-1)*n+[2^(n-2)-2^(n-2)]*(n-1)+[2^(n-2)-2^(n-2)]*(n-2)+……+[2^(n-2)-2^(n-2)]*1=2^(n-1)*n

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