神雕侠侣国语百度云:7sinx=3sin(x+y) 求证:2tan[(2x+y)/2]=5tan(y/2)

来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/29 03:46:54

7sinx=3sin(x+y)
7sin[(x+ y/2)-y/2]=3sin[(x+ y/2)+y/2]

7sin(x+ y/2)cos(y/2)-7cosy(x+ y/2)sin(y/2)=
3sin(x+y/2)cos(y/2)+ 3cos(x+y/2)sin(y/2)

4sin(x+ y/2)cos(y/2)=10cos(x+y/2)sin(y/2)

即
2tan[(2x+y)/2]=5tan(y/2)

由7sinx=3sin(x+y)=3(sinxcosy-cosxsiny)...(a)
1)当sinx=0,则cosx≠0，显然满足上述等式只有siny=0,从而x=k*π,y=k*π(k=0,1,2...);
则求证式左边＝2tan(3kπ/2)=0,右边＝5tan(3kπ/2)=0，成立。（注意：当k＝奇数时无意义）
2）当sinx≠0，(a）式两边同除以sinx，得
7＝3（cosy-tanx),得tanx＝siny/(7/3-cosy),利用万能公式可得tanx＝3tan(y/2)/[2+5tan^2(y/2)],整理得，
tanx*5tan^2(y/2)-3tan(y/2)+2tanx=0.........(b)
求证式等价於2tan[(2x+y)/2]-5tan(y/2)=0.....(c)
tan[(2x+y)/2]＝tan(x+y/2)=[tanx+tan(y/2)]/(1-tanx*tan(y/2),所以(c)式可等价於
[tanx+tan(y/2)]/(1-tanx*tan(y/2)-5tan(y/2)=0..(d)
化简可得tanx*5tan^2(y/2)-3tan(y/2)+2tanx=0...(e)
因为（b）式成立，故（e）成立，得证。
楼上的好方法哦。

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