高校问答超级救火队5章的第9关:证明正五边形中心到顶点的向量加和为零，从哪里入手，方法最好详细点，谢谢！
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/04 15:51:58
证明正五边形中心到顶点的向量加和为零，从哪里入手，方法最好详细点，谢谢！
任意正多边形中心到顶点的向量的和如果是一个非零向量，那么把所有中心到顶点的向量共同旋转一个角度，比如正五边形就是旋转72度，那么它们的和向量也应该旋转72度。但所有中心到顶点的向量旋转前后彼此重合，它们的和向量也应该不变。因此和向量只能为零向量。
解：设这个正五边形为正五边形ABCDE,中心为O,设AB,BC,CD,DE,EA的中点分别为F,G,H,I,J.
∵AO+BO=2OF
BO+CO=2OG
CO+DO=2OH
DO+EO=2OI
EO+AO=2OJ
∴2(AO+BO+CO+DO+EO)=2(OF+OG+OH+OI+OJ)
∴AO+BO+CO+DO+EO=OF+OG+OH+OI+OJ
∵OF=OG=OH=OI=OJ
将OF,OG,OH,OI,OJ分解在竖直方向和水平方向
得:OF+OG+OH+OI+OJ=0
∴AO+BO+CO+DO+EO=0
如果实在没思路 可以用一个比较笨的方法：解析法
就是建立适当的坐标系 求出每一点的坐标 再写成向量形式并运用向量的运算解题
声明一下我以下写的形如“AB”，它的上面都是带着箭头的，指向量.
证明：设正五边形ABCDE，它的中点为O，据向量的加法有
AO+OB=AB①
BO+OC=BC②
CO+OD=CD③
DO+OE=DE④
EO+OA=EA⑤
上述五式相加得
OA+OB+OC+OD+OE=0
所以正五边形中心到顶点的向量加和为零