三毛和眭澔平:初一数学题

既然是初一的题目，那就不能用C语言编程做的。

qsmm，你真的很厉害！！我的编程到现在还是学的迷迷糊糊。呵呵~（本来想说能认识一下么，又怕你拒绝了，我会难过~）

我的解法：这涉及到完全平方数的一个性质。

解：设此数为
1000a+100a+10b+b=11(100a+b)
此数为完全平方，则必须是11的倍数。
而a,b只能为0,1,2,9，故共有(2,9),(3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。

直接验算，可知此数为7744=88^2

附：完全平方数的性质

(一)完全平方数的性质
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
证明 奇数必为下列五种形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分别平方后，得
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20
(5a+9a+4)+1
综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明 已知=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为，则
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。
对于n位数，也可以仿此法予以证明。
关于完全平方数的数字和有下面的性质：
性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：
性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
证明 充分性：设b为平方数，则
==(ac)
必要性：若为完全平方数，=，则

性质11：如果质数p能整除a，但不能整除a，则a不是完全平方数。
证明 由题设可知，a有质因子p，但无因子，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因子的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若
<k<(n+1)
则k一定不是完全平方数。
性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。

(二)重要结论
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。

#include <stdio.h>
void fun()
{
int k=32, n=0, a4,a3,a2,a1;
for(k=32; k<100; k++)
{
n=k*k;
a4=n/1000;
a3=(n%1000)/100;
if(a4==a3)
{
a2=(n%100)/10;
a1=n%10;
if(a2==a1)
{
printf("%d=%d*%d",n,k,k);
}
}
}
}

int main(int argc, char *argv[])
{
fun();
return 0;
}

//7744=88*88

设这个数是形如aabb的数，则
x^2=1000a+100a+10b+b
=1100a+11b
=11(100a+b)
可知（100a+b）中有因子11
因为100a+b是形如a0b的数则可推断a+b=11(小时候老师说11与两位数乘可用“两头一拉，中间一加”的方法计算，因为中间是0，所以两个数加起来是10，而向前进了1，所以a+b=11),这样的数有209、902、308、803、407、704、506、605，又因为形如a0b的这个数被11除所得的商必定是完全平方数，所以经过试验得知704符合要求，所以这个数是704*11=7744。

设的千百位分别为X,个十位为Y,
则所求数=1100X+11Y=11*(100X+Y)
可知(100X+Y)也是11的倍数,且除以11外仍旧是完全平方数,
从X=1至9分别代入,分别得各Y无解\9\8\7\6\5\4\3\2,
从答案中可知只有当X=7,Y=4时才是完全平方数,故解

1、设这个数是1100A+11B（A、B是一位不为0的整数），根是C，
则有：.C²=1100A+11B =(100A+B)×11
C²=(100A+B)×11
C²/11=(100A+B)
因为1100A+11B这个数是四位数,
所以C必定是两位数.
C²/11要想是整数,其C²必定被11整除,
由此可得知C就必定是一个十位上和个位上的数相同的数.
2、又设C=D×11（D是一位不为0的整数）
所以C²/11=(100A+B)就得到下列式子:
(D×11)² /11=(100A+B)
D²×11²/11=(100A+B)
(100A+B) /D²=11
(100A+B) / D²要想是整数11,其(100A+B)必定既被D²整除,又被11整除
因为D是一位数所以D²必定是两位数,11D²必定是四位数,
3、又设D²=10a+b（a、b不为零的整数）
所以：11D²=11（10a+b） =11Oa+11b=100a+10a+10b+b=100a+10（a+b）+b
所以： (100A+B)= 100a+10×（a+b）+b
(100A+B)百位是A；十位是0；个位是B；
[100a+10（a+b）+b]百位是a；十位是10（a+b）；个位是b
由(100A+B)式子的十位是0与[100a+10（a+b）+b]的十位是10（a+b）；且（a、b不为零的整数）推出
a+b=10；B=b；
因为a+b=10在十位中，所以100A=100a+10×10推出A=a+1（十位上满十向百位进位）；
4、a+b=10变为a=10—b ；所以D²=10a+b变为D²=9a+10
要使D²=9a+10能够求出开方的值为整数，在最小的整数中逐一寻找即可：
a=1时 D²=9+10=19不能开方值为整数
a=2时 D²=18+10=28不能开方值为整数
a=3时 D²=27+10=37不能开方值为整数
a=4时 D²=36+10=46不能开方值为整数
a=5时 D²=45+10=55不能开方值为整数
a=6时 D²=54+10=64能开方值为整数，D取整数8
a=7时 D²=63+1073=不能开方值为整数
a=8时 D²=72+10不能开方值为整数
a=9时 D²=81+10不能开方值为整数
a=0时不可能不能开方值为整数
所以把D取整数8代入C=D×11（D是一位数）
C=8×11=88，再把“C=8×11=88”代入C²=88²=7744

设它为aabb，该数可写为：11*（a*100+b）
a*100+b能被11整除，则a+b=11
当a=7，b=4时成立