高校问答蓝紫色火焰桃心:问一道数学不等式的证明题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/30 06:13:48
a/b+b/a≥2(a>0, b>0),当且仅当a=b时取等号
因为[根(a/b)-根(b/a)]^2>=0
拆开得：a/b+b/a-2>=0
所以当根(a/b)=根(b/a)时
即a^2=b^2时 ，即a=b>0时，取等号
a/b+b/a>=2*根号(a/b*b/a)=2
当a/b=b/a=1时取等号
或者两边同乘以ab
化简成a^2+b^2-2ab>=0
(a-b)^2>=0
简单
a/b+b/a≥2
所以 a^2+b^2/ab≥2
a^2+b^2/ab-2≥0
a^2+b^2+2ab/ab≥0
(a-b)^2/ab≥0
所以当且仅当a=b时 原式=0
证明：
(a-b)^2>=0
=>a^2-2*a*b+b^2>=0
=>a^2+b^2>=2*a*b
两边除以a*b
=>b/a+a/b>=2
这是基本的均值不等式
因为a>0,b>0,
所以不等式两边同时乘以2ab,
可得a^2+b^2≥2ab,
当a=b时，取得最小值2ab
a/b+b/a=(a^2+b^2)/ab =[(a-b)^2+2ab]/ab=(a-b)^2/ab+2
因为(a-b)^2》0 a>0b>0 所以原式 》2当且仅当a-b=0时成立