高校问答妖精的尾巴灰大人:高一数学题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/29 02:29:38
设数列｛An｝的前n项和为Sn，已知对于所有的自然数n属于N＊，
都有Sn=n(A1+An)
--------
2
求证：｛An｝是等差数列．
都有Sn=n(A1+An)
--------
2
求证：｛An｝是等差数列．
Sn=n*(A1+An)/2
An=Sn-S(n-1)=n(A1+An)/2-(n-1)(A1+A(n-1))/2
=(n-1)*(An-A(n-1))/2+(A1+An)/2
所以:
An-(A1+An)/2=(n-1)*(An-A(n-1))/2
(An-A1)=(n-1)*(An-A(n-1))
An-A(n-1)=(An-A1)/(n-1)
设(An-A(n-1))=(An-A1)/(n-1)=F(n)，即：差为关于n的函数
F(2)=A2-A1
F(3)=A3-A2=(A3-A1)/2=(A3-A2+A2-A1)/2
=(A3-A2+F(2))/2
所以，A3-A2=(A3-A2+F(2))/2
解得：A3-A2=F(2)=F(3)
数归：
n=3时，F(3)=F(2)成立
假设，n=k时，F(k)=F(2)也成立
那么，n=k+1时
F(k+1)=A(k+1)-Ak=(A(k+1)-A1)/k
=(A(k+1)-Ak+Ak-A(k-1)+...+A2-A1)/k
=(F(2)+F(2)+...+F(2))/k（这儿的F(2)共k个）
=kF(2)/k
=F(2)
所以，F(k+1)=F(2)
即对于所有的自然数n属于N＊，我们都有：A(n+1)-An=F(k+1)=F(2)
F(2)是常数，所以{An}是等差数列。
#