阴阳师 狐火:a+b+c≥3×(立方根 abc) 总成立吗？

来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/29 20:18:44
条件是：a,b,c 都大于零

认为成立的话帮证明一下，不成立的话举个反例，谢谢
详细证明一下啊

一定成立.该结果可由a^3+b^3+c^3>=3abc得到(将a,b,c分别换成三次根号a,b,c即可),以下用高中方法证明a^3+b^3+c^3>=3abc:
先证a^3+b^3>=ba^2+ab^2:
(a^3+b^3)-(ba^2+ab^2)=(a^3-ba^2)-(ab^2-b^3)
=(a-b)a^2-(a-b)b^2=(a^2-b^2)(a-b)=(a+b)(a-b)^2
因为a>0,b>0,易知上式大于等于零,故a^3+b^3>=ba^2+ab^2成立.
同理可得b^3+c^3>=bc^2+cb^2,a^3+c^3>=ca^2+ac^2,三式相加得
2(a^3+b^3+c^3)>=(ba^2+bc^2)+(ab^2+ac^2)+(cb^2+ca^2)
=b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)
>=b*2ac+a*2bc+c*2ab=6abc
所以a^3+b^3+c^3>=3abc(当且仅当a=b=c时取等号)

一定！！
证明：利用基本不等式a+b≥2*根号（a*b），用两次即可。

或者；一般的,证明(a1+ +an)/n>=n次根号下(a1 an)
只需证 ln[(a1+ +an)/n]>=(lna1+ lnan)/n

这一点可以从图象观察,你试一试.
如果想进一步了解,可参考大学数学分析教材.

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