杭州逸酒店属于几星级:已知f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,且f(1),f(0),f(-1),f(2)都是整数，求证：当x是任何整数时，f(x)也是整数

由于f(0)=整数, 所以 d=整数
由于f(1)=a+b+c+d=整数,
所以 a+b+c+d=整数,所以 a+b+c=整数
由于f(1)=-a+b-c+d=整数,所以 -a+b-c=整数
由以上两式知 2b=整数,2a+2c=整数

同理8a+4b+2c+d=整数,所以 8a+4b+2c=整数,
所以 8a+2c=整数
所以 6a=整数

据此可设
a=m/6，c=m/3，b=n/2，其中m,n是整数。
所以
a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
=x^3*m/6 + x^2*n/2 + x*m/3
=m*x*( x^2 + 2 )/6 + x^2*n/2
分几种情况：
1.
x是3的倍数且是奇数，m*x*( x^2 + 2 )/6 是整数的一半
2.
x是奇数但不是是3的倍数
因为 x^2 + 2 =(x - 1)*( x + 1)+3,必定能被3整除，
m*x*( x^2 + 2 )/6 是整数的一半，
所以m*x*( x^2 + 2 )/6 + x^2*n/2是整数

还有，当x是偶数时，m*x*( x^2 + 2 )/6 和 x^2*n/2都是整数。
证毕。

另外一种想法 设：
0*a+0*b+0*c+d=A
a+ b+ c+d=B
-a+ b- c+d=C
8*a+4*b+2*c+d=D
当x是任意整数，由
a*x^3 + b*x^2 + c*x + d=w*A + x*B + y*C + z*D
取对应系数相等，若能解出整数wxyz那么命题得证。

由于f(0)=整数, 所以 d=整数
由于f(1)=a+b+c+d=整数,
所以 a+b+c+d=整数,所以 a+b+c=整数
由于f(1)=-a+b-c+d=整数,所以 -a+b-c=整数
由以上两式知 2b=整数,2a+2c=整数

同理8a+4b+2c+d=整数,所以 8a+4b+2c=整数,
所以 8a+2c=整数
所以 6a=整数

据此可设
a=m/6，c=m/3，b=n/2，其中m,n是整数。
所以
a*x^3 + b*x^2 + c*x + d
=x^3*m/6 + x^2*n/2 + x*m/3
=m*x*( x^2 + 2 )/6 + x^2*n/2
分几种情况：
1.
x是3的倍数且是奇数，m*x*( x^2 + 2 )/6 是整数的一半
2.
x是奇数但不是是3的倍数
因为 x^2 + 2 =(x - 1)*( x + 1)+3,必定能被3整除，
m*x*( x^2 + 2 )/6 是整数的一半，
所以m*x*( x^2 + 2 )/6 + x^2*n/2是整数

还有，当x是偶数时，m*x*( x^2 + 2 )/6 和 x^2*n/2都是整数。
证毕。

另外一种想法 设：
0*a+0*b+0*c+d=A
a+ b+ c+d=B
-a+ b- c+d=C
8*a+4*b+2*c+d=D
当x是任意整数，由
a*x^3 + b*x^2 + c*x + d=w*A + x*B + y*C + z*D
取对应系数相等，若能解出整数wxyz那么命题得证。

这应该怎么做呢？那么多分数。