高校问答楼梯类型分类at:数学爱好者们.HELP----解一简单的不等式
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/10 13:05:18
X*X+2X+1/(X*X+2X+3)的最小值.谢谢
请各位不要把题看错
(X*X+2X)+1/(X*X+2X+3)
请各位不要把题看错
(X*X+2X)+1/(X*X+2X+3)
解法1：
X*X+2X+1/(X*X+2X+3)
=(x+1)^2/[(x+1)^2+2]
=[(x+1)^2+2-2]/[(x+1)^2+2]
=1-2/[(x+1)^2+2]
不管X取什么值
(x+1)^2≥0(当x=-1时，取等号)
→(x+1)^2+2≥2
→1/[(x+1)^2+2]≤1/2
→-2/[(x+1)^2+2]≥-1
→1-2/[(x+1)^2+2]≥0
所以X*X+2X+1/(X*X+2X+3)的最小值为0 (当x=-1时，取最小值)
解法2：
X*X+2X+1/(X*X+2X+3)=(x+1)^2/[(x+1)^2+2]
因为(x+1)^2+2≥2，可见，不管X取什么值，上式都有意义。
令x+1=u,y=u^2/[u^2+2]
可得关于u的一元二次方程(1-y)u^2-2y=0
上述方程总有实数解
所以-4(1-y)(-2y)≥0
得8y(y-1)≤0
解这个不等式得)0≤y≤1
所以X*X+2X+1/(X*X+2X+3)的最小值为0 (当u=0,即x=-1时，取最小值)
X*X+2X+1/(X*X+2X+3)
=x^2+2x+1+1/(x^2+2x+3)-1
=(x+1)^2+(x^2+2x+3-1)/(x^2+2x+3)
=(x+1)^2+(x^2+2x+1+1)/(x^2+2x+3)
=(x+1)^2+[(x+1)^2+1]/(x^2+2x+3)
当x=-1时，有最小值
原式=0+1/(1-2+3)=1/2
追问
1-2+1/2=-1/2
原式＝（x+1）^2/((x+1)^2+2)
由于（x+1）^2最小是零，所以该题的最小值为零
追问
你看错题了额