高校问答巴赫二部创意曲第四首:一道数学题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/10 11:39:28
求证:1/2^2+1/3^2+1/4^2+……+1/2005^2＜2004/2005
令1/n^2<1/[n*(n-1)]=1/(n-1)-1/n
原式<（1-1/2）+（1/2-1/3）+……+（1/2004-1/2005）
=1-1/2005
=2004/2005
用反证法
使用两个关键点：
（1）1/a^2 < 1/[(a-1)*a] (a >=2 )
（2）1/[(a-1)]*a]=1/(a-1) - 1/a
所以，1/2^2+1/3^2+1/4^2+……+1/2005^2
<1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+……+1/（2004*2005）
=（1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3-1/4)+……+1/ 2004-1/2005) （--->去掉括号可以消去中间，只剩两边）
= 1-1/2005
= 2004/2005
所以得证。