高校问答国内健美先生:数学题难！
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/29 07:23:23
已知等比数列{An}中，A1=a>0,工公比q>0且q不等于1，同时对于任意自然数n,都有An不等于1,将以x为未知数的方程An^x*A(n+1)^2*A(n+2)^1/x=1称作方程In.
(1)试证明I1,I2,I3-----有公共解,并求这个公共解.
(2)试证明对于每一个给定的自然数n,方程In除公共解外,还有另一个解,并求出这个解,进一步证明数列{1/(1+Xn)}是一个等差数列.
*表示乘
(1)试证明I1,I2,I3-----有公共解,并求这个公共解.
(2)试证明对于每一个给定的自然数n,方程In除公共解外,还有另一个解,并求出这个解,进一步证明数列{1/(1+Xn)}是一个等差数列.
*表示乘
方程两边取对数。
log(An)*x+2log(A(n+1))+log(A(n+2))/x=0
因为An是等比数列
因此上式等于：
log(An)*x+2(log(An)+q)+(log(An)+2q)/x=0
log(An)*x^2+2(log(An)+q)*x+log(An)+2q=0
(x+1)(log(An)x+log(An)+2q)=0
两个解分别是:
x=1和x=-(1+(2q/log(An)))
1/1+Xn = -log(An)/2q = -(log(A1)+(n-1)q)/2q
所以它是个以-(log(A1)/2q)为首项。-1/2为公差的等差数列。