高校问答明月几时有的诗:请教两个数学问题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/28 04:21:21
比如123，1+2+3=6，6是3的倍数，所以123能被3整除。
为什么这样就可以求得两数最大公约数？
比如40，15
40除以15的余数是10，再以15除以10的余数为5，10再除以5无余数，所以5为最大公约数
这是在小学时老师告诉我的，但直到现在我还不知道为什么可以这样，不知哪位高人能给出个计算的公式或是代数式
第一个问题: 比如一个数为abc, 用代数式表示为100a+10b+c = (99a+9b) + (a+b+c); 前一个括号内肯定被3整除, 那么该数能否被3整除就看后一个括号内的数了. 它恰好是各位之和. 对于更多位, 也如此. 如五位数为10000a+1000b+100c+10d+e = (9999a+999b+99c+99d) + (a+b+c+d+e);
从上可看出, 不仅被3整除, 能否被9整除也这样看, 因为前一个括号都是9的倍数.
第二个问题: 比如两个数a和b (a>b), a可以表示为b*n+c. 如果c为0 (即a被b整除), b当然是最大公约数; 否则如果有比b小的公约数, 设为d, 在a=b*n+c中b*n一项肯定是d的倍数了(因为d一定是b的约数), 要想使d为a的约数, d也必须是c的约数. 通俗描述就是公约数d一定也是a除以b的余数c的约数. 依次类推, 最后只有两个结果: 当余数为0时, 作除数的那个数为最大公约数; 当余数始终为1时, 两数互质.
问题1的解答：
首先应该明白1除以3余1，10除以3余1，100除以3余1，
1000除以3余1，10000除以3余1，
也就是10的n次方1除以3都余1，所以，比如579，
（500+70+9）除以3余数和应为5+7+9=30，恰好余数也可以被3整除，所以579除以3的余数为0，所以-----
问题2的解答：
设a，b，若c为他们的最大公约数，
令a/c=m，b/c=n，（m，n为整数）则（a-b)/c=m-n也是整数，就是说c也是(a-b)的约数，这样减来减去，会的得出一些数，这些数有一个最大公约数c，
这些数任意2个的差值都》=c，所以就得出来了
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