高校问答苏菲玛索007床戏:函数单调性
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/01 21:28:03
http://www.pkuschool.com/teacher/details_st.asp?TopicAbb=test&SubjectAbb=sx&FileName=g303sxd562ea51.htm
第19题怎么做？页面最后有答案但没过程。不会做，拜托了
做出可以直接复制到http://zhidao.baidu.com/question/5367340.html
再拿5分
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f(x) = (x/m)^2 + (n/x)^2 - 2(x/m) - 2(n/x) + 2
=(x/m+n/x)^2 - 2(x/m * n/x) - 2(x/m+n/x) + 2
=(x/m+n/x-1)^2 -2n/m + 1
=g(t(x))
其中
g(t) = t^2 - 2n/m + 1 , t(x) = x/m+n/x-1
由于在f(x)的定义域内，t(x)>0 , g(t)单调递增，故f(x)和t(x)有相同的单调性。
t(x2) - t(x1)
=(x2-x1)/m - (x2-x1)n/x1x2
=(x2-x1)(x1x2-mn)/mx1x2.........................(1)
由(1)可知
当m<=x1<x2<(mn)^0.5时 t(x2)<t(x1),
当(mn)^0.5<x1<x2<=n时 t(x2)>t(x1)。
因此t(x),从而f(x) 在[m, (mn)^0.5)单调递减，在（(mn)^0.5，n)单调递增。
由f(x)的单调性可知，f(x)在x=m或x=n取到最大值，在x=(mn)^0.5取到最小值。
即在定义域内:
f(x) <= f(m)=f(n)=((n/m-1)^2 <= (2/1-1)^2 = 1
f(x) >= f((mn)^0.5) = 2((n/m)^0.5 -1)^2 > 2((m/m)^0.5-1)^2 = 0
即0 < f(x) <= 1
因此对任意 m<=x1<x2<n
|f(x1) - f(x2)| < |1-0| = 1
先看书，再不会去问老师，这题不难但很重要，要掌握方法~！
为什么不用定义法呢？