高校问答科多兽皮卷轴:一个数学问题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/28 01:52:00
f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,f(2)=0,g(x)=f(x-1),求f(2002)=?
(请写过程)
(请写过程)
由条件g(x)=f(x-1),可知
g(-x)=f(-x-1);
f(x)为偶函数,故f(-x-1)=f(-(x+1))=f(x+1);
所以 g(-x)=f(x+1)=-g(x);
f(x+1)=-f(x-1);
f(x)=-f(x-2)=f(x-2);
所以f(2002)=f(2000)=f(1998)=...=f(2)=0;
解:∵f(2)=0,g(x)=f(x-1)
∴g(3)=f(3-1)=f(2)=0
∵g(x)为奇函数
∴g(0)=0
∴g(x)的周期T=3
∵2002/3的商是667,余数是2
∴g(2003)=g(2)=f(1)
∵g(0)=f(-1)=f(1)=0
又∵g(2003)=f(2002)
∴f(2002)=0
g(x)=-g(-x),所以f(x-1)=-f(-x-1)
所以f(x)=-f(-x-2),又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),
所以f(-x)=-f(-x-2),f(x)=-f(x-2)
所以f(2002)=-f(2000)=...=f(2)=0
f(2002)=0
∵g(x)为奇函数 ∴ g(x)+g(-x)=0
将g(x)=f(x-1)代入g(x)+g(-x)=0得
f(x-1)+f(-x-1)=0
f(x-1)+f[-(x+1)]=0
∵f(x)为偶函数 ∴f(x)-f(-x)=0
f(x-1)+f(x+1)=0
f(x+1)=-f(x-1)
即f(x+2)=f(x) (递推公式)
又∵f(2)=0
∴只要x为偶数,f(x)都等于0
∴f(2002)=0,f(2006)=0