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第一题可用数形结合方法：
f(x)=√(x^2-2x+2)+√(x^2 -4x+8)
可化为f(x)=√[(x-1)^2+1]+√[(x -2)^2+4]
f(x)即表示为平面直角坐标系中x轴上一点(x,0)与点(1,1)和(2,-2)的距离的和，最小值即点(1,1)和(2,-2)之间线段的长，为√10
[三楼的解法可能在由根式到绝对值的过渡有错误]

第二题的解法也是数形结合
如果不知道该方程为圆的方程，也可有另法：
(x-2)^2+y^2=3可化为x^2-4x+1=-y^2
由原式知 x不等于0，等号两边共同除以x^2,得
1-4/x+1/x^2=-y^2/x^2
设t=y/x,则t^2=-(1/x-2)^2+3
由x的有界性，x属于[2-√3，2+√3]，
则1/x属于[2-√3，2+√3]
那么由二次函数的性质,t^2=-(1/x-2)^2+3属于[0，3]
则t属于[-√3，√3]
综上，y/x的最小值是-√3

第一题：
X^2-2X+2和X^2-4X+8都在根号下，而且它们的Δ都小于0，根据对应函数图像，开口向上，与X轴无交点，也就是说无论X取什么值，都满足根号下大于0
这样我们可以就可以将根号同时去掉，即F(X)的最小值时X的取值，与|X^2-2X+2|+|X^2-4X+8|值最小时X的取值一致，所以只要求得此时值最小时X的值及得。可以把绝对值号同时去掉，因为里面必为正，得到X^2-2X+2+X^2-4X+8
整理得到X^2-3X+5,此式的最小值就在函数图像的对称轴处，取最小值时X=1.5
代入原式，及得函数F(X)的最小值为5^0.5/2+17^0.5/2.读出来就是二分之根号五加二分之根号十七。
第二题
对于高一生来说难了点，因为还没学解析几何，高三的时候还不会这种题就麻烦了！题外话
一看这种形式就应该知道这个方程是圆的轨迹，圆心在（2，0）点，半径为根号三的圆，y/x表示该圆上任意一点的斜率，建议楼主在纸上画个这样的圆，再找它上面斜率最小的点，可以发现当点在圆轨迹第四象限切线即（1/2，-根号3/2）时，y/x 最小，值为负的根号3

2.
x、y在圆心为（2，0）半径为根号3的圆上
y/x为（x，y）的斜率
y/x最小是过圆心作圆的切线(在第四象限)
切线斜率为y/x的最小值

切点是(1/2,-√3/2) 最小值为负根号3

2题是一个圆.求斜率即可,为负3的1/2方 设y=kx代久(2)式中,只有一个交点,即一个根,即可求出一个最大和最小值