高校问答lolskt历年冠军皮肤:函数的证明
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/05/07 22:03:00
设函数f(x)对任意的x y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，并且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2
（1）证明f(n)为奇函数
（2）证明f(x)在R上为减函数
（1）证明f(n)为奇函数
（2）证明f(x)在R上为减函数
（1）
令x=0,y=0
f(0)=2f(0)
f(0)=0
令x=-y
f(0)=f(-y)+f(y)
f(y)=-f(-y)
所以是奇函数
（2）
令x+y=x1,y=x2,x不等于0
所以x=x1-x2
f(x1)-f(x2)=f(x)=f(x1-x2)
当x1>x2时，x1-x2>0
f(x1)-f(x2)=f(x)=f(x1-x2)<0
f(x1)<f(x2)
为减函数
当x1<x2时，x1-x2<0，因为f(x)为奇函数
f(x1)-f(x2)=f(x)=f(x1-x2)>0
f(x1)>f(x2)
为减函数
综上所述，f(x)为减函数
1.令x=y=0，代入f(x+y)=f(x)+f(y)，得f（0）=0
再令x=t，y=-t，（t>0）代入f(x+y)=f(x)+f(y)，
得f(0)=f(t)+f(-t)=0
所以f(t)=f(-t)
所以f(x)为奇函数
2.令y>0,所以x<x+y ,
f(x)-f(x+y)=-f(y)
x>0时,f(x)<0, 所以f(y)<0,则f(x)-f(x+y)=-f(y)>0
所以f(x)在R上为减函数
1.令y=0,所以f(x+0)=f(x)+f(0),所以f(0)=0.又令y=-x,所以f(x-x)=f(x)+f(-x) 所以f(0)=f(x)+f(-x)=0所以是奇函数
2.当x>0,因为f(x)<0,那么根据函数是奇函数,所以-x<0 f(-x)>0所以是递减函数