高校问答蓝胖子减肥药管用么:函数的问题2
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/28 19:07:32
已知函数f(x)=loga(x-3)/(x+3)的定义域为[p,q），值域为[loga(aq-a),loga(ap-a)]，且函数f(x)在[p,q)上是减函数，则实数a的取值范围是
答案0＜a＜4分之2－根号3
答案0＜a＜4分之2－根号3
f(x)=loga(x-3)/(x+3)=loga[1-6/(x+3)]
为使f(x)有定义，1-6/(x+3)>0，即x>3或x<-3。
为使loga(aq-a),loga(ap-a)均有意义，
a>0,aq-a>0,ap-a>0，即q>1,p>1，从而x一定大于1。
因此[p,q)∈(3,+∞)。此时函数y=1-6/(x+3)在(3,+∞)上单增。
又由f(x)在[p,q)上是减函数，知0<a<1。
当x=p时，f(x)=loga(ap-a)；由函数连续性，当x=q时，f(x)=loga(aq-a)；
因此p,q为方程(x-3)/(x+3)=a(x-1)的两根，化简得ax2+(2a-1)x+3-3a=0。
要保证该关于x的方程相异两根均大于3，
设g(x)=ax2+(2a-1)x+3-3a，
根据图像可知
Δ=(2a-1)²-4a(3-3a)>0，
g(3)=9a+3(2a-1)+3-3a>0，
对称轴 -(2a-1)/(2a)>3，
0<a<1，
以上四式联立得 0＜a＜(2-√3)/4