高校问答魔兽1.12正义之手:高一数学问题
来源：百度文库 编辑：高校问答 时间：2024/04/27 22:45:40
设正数a,b,c成等差数列,x,y,z成等比数列，则（b-c)lgx+(c-a)lgy+(a-b)lgz=___
答案为0
答案为0
a,b,c成等差数列,则可得b-a=c-b=d（公差）。
（b-c)lgx=-dlgx,(a-b)lgz=-dlgz,(c-a)lgy=2dlgy
（b-c)lgx+(c-a)lgy+(a-b)lgz=d(-lgx-lgz+2lgy)
x,y,z成等比数列,得x*z=y^2.所以-dlg(x*z/y^2)=-dlg1=0
设c-b=b-a=m,则c-a=2m
设z/y=n则y/x=n,z/x=n^2
所以原式＝mlgx+2mlgy-mlgz
=m(lgx+2lgnx-lgn^2x)
=mlgx
=(b-c)lgx
x,y,z成等比数列
设y/x=k
(b-c)lgx+(c-a)lgy+(a-b)lgz
=blgx-clgx+clgy-algy+algz-blgz
=blg(x/z)+clg(y/x)+alg(z/y)
=blg(1/k^2)+clgk+algk
=-2blgk+clgk+algk
=（lgk）*(-2b+a+c)
因为正数a,b,c成等差数列
所以-2b+a+c=0
所以(b-c)lgx+(c-a)lgy+(a-b)lgz=0
a,b,c成等差数列，不妨设公差为d
x,y,z成等比数列，则lgx,lgy,lgz也成等差数列，
所以有2lgy=lgx+lgz
所以(b-c)lgx+(c-a)lgy+(a-b)lgz
=(-d)lgx+2dlgy+(-d)lgz
=(-d)(lgx-2lgy+lgz)
=(-d)*0
=0